Фамилия Побужаев — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает прозвищную или профессиональную версию. Скорее всего, её основа — не глагол «побужать» (которого в литературном русском в нужном значении нет), а название реки Буг, точнее — её притока Западный Буг. Человек, живший «по Бугу», то есть вдоль этой реки, мог получить прозвище Побужай или Побужаев. Модель образования проста: приставка «по-» указывает на расположение вдоль водного объекта, а суффикс «-ев» превращает прозвище в фамилию. Сравните с фамилиями Подонсков, Поволжский, Подуральский — тот же принцип.

Есть и альтернативная, хотя и менее вероятная, версия. В некоторых говорах «побужать» могло означать «побуждать», «подгонять» или «заставлять». Тогда Побужаев — потомок человека с таким прозвищем, возможно, настойчивого или деятельного. Но эта гипотеза слаба: фамилия с суффиксом «-аев» от глагола на «-ать» встречается реже, чем топонимическая привязка, а сама основа «бужать» в значении «побуждать» — диалектная и узкая.

Словообразовательно фамилия стоит в ряду на «-ев», а не на «-ов», что типично для основ, оканчивающихся на мягкий согласный или «й». В данном случае «Побужа(й)» дало «Побужаев». Если бы основой было имя Бужай (гипотетическое прозвище от реки Буг без приставки), фамилия звучала бы как Бужаев. Приставка «по-» — ключевой дифференцирующий элемент.

Географически фамилия должна была возникнуть в регионах, прилегающих к Западному Бугу: современные Брестская область Беларуси, Волынская область Украины, а также юго-восток Польши. Однако в современных справочниках и телефонных базах Побужаев встречается крайне редко, рассеянно — от Москвы до Сибири. Это говорит о том, что фамилия не была массовой и носители, вероятно, разошлись по стране в ходе миграций XIX–XX веков.

Точных сведений о сословной принадлежности Побужаевых нет, но топонимические фамилии такого типа в XIX веке чаще встречались у крестьян и мещан, чем у дворянства. Дворянские фамилии обычно оформлялись через «-ский» (например, Побужский). Простой суффикс «-ев» указывает на непривилегированное происхождение.

Итог: фамилия Побужаев, скорее всего, говорит о предке, который жил на берегах Буга или вблизи них. Это редкий топонимический след, сохранивший приставку, указывающую на расположение «вдоль» реки.