Фамилия Попочкин — редкий случай, когда суффикс сразу выдаёт социальный контекст. В русских фамилиях на -кин обычно указывают на женскую основу: если предка звали, скажем, Попка, то его дети получали фамилию Попкин. Но тут корень Попоч- с уменьшительным суффиксом -к- (Попок → Попочка) и уже от него — -ин. То есть исходное имя или прозвище — Попочка. Это не «поп» в прямом смысле, а ласкательная форма: так могли называть сына священника, мальчика из поповской семьи, или просто человека, чем-то напоминавшего попа — например, бородкой или степенной походкой. В говорах слово «попок» означало и птицу (удод, из-за хохолка), и даже вид грибов, но для фамилии вероятнее именно прозвище по отцу-священнику.

Такая модель встречается нечасто. Обычно от «поп» образуют Попов (самая частая), Попкин, Попков. Попочкин — более дробная форма, она говорит, что прозвище закрепилось именно в уменьшительном варианте, а потом уже перешло в фамилию. В ономастических работах, например у Б. Унбегауна, фамилии на -очкин разбираются как вторичные: сначала было имя Попко или Попок, потом его ласкательная форма Попочка, и лишь затем фамилия.

Географически Попочкины встречаются преимущественно в центральных областях России, особенно в старых писцовых книгах Рязанской и Тамбовской губерний. Там, где было много церковнослужителей, такие «полупоповские» фамилии были в ходу — их давали детям дьячков и пономарей, чтобы отличать от прямых Поповых. Сословно это, скорее всего, не дворяне, а духовное или крестьянское происхождение, но без точных архивных выписок утверждать сложно.

В написании фамилия устойчива: вариант Попочкин, а не Попочин или Попочкинов, — суффикс -к- сохраняется, что говорит о позднем оформлении (XVII–XVIII век). Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка происходил из семьи, где кто-то служил в церкви, но не настолько высоко, чтобы зваться просто Поповым.