Фамилия Попше — редкая для русского слуха и, скорее всего, нерусская по происхождению. В русской ономастике нет суффиксальной модели, которая дала бы такую форму. Корень «поп» здесь, вероятно, есть, а вот окончание «-ше» выдает немецкое или польское влияние. Самый прямой путь — считать фамилию германизированным вариантом польской фамилии Попше (Pop-sze) или немецкой Popsche.

Если отталкиваться от польского языка, то «Pop» — это «поп», православный священник. Суффикс «-sze» в польских фамилиях часто указывал на принадлежность или характеристику: «поповский», «относящийся к попу». В таком случае фамилия могла закрепиться за детьми или слугами священника. В немецком варианте Popsche могла возникнуть как искаженная запись славянской фамилии при переселении в немецкую среду (например, в Поволжье или Прибалтику). Немецкие диалекты часто смягчали и «обрубали» окончания, превращая Попов в Попше.

Есть и менее очевидная версия, связанная с еврейскими фамилиями. В идише «Pop» могло быть прозвищем от слова «поп» — так могли называть еврея, обслуживающего христиан или живущего рядом с церковью. Суффикс «-ше» в ашкеназских фамилиях встречается редко, но как вариант записи (Pop-sche) не исключен.

Географически фамилия тяготеет к западным регионам бывшей Российской империи и к немецким колониям. В современной России она почти не встречается, чаще — в Польше, Германии, среди потомков поволжских немцев. Если ваши предки носили фамилию Попше, скорее всего, они были либо поляками, либо немцами со славянскими корнями, и их род восходит к священнику или человеку, которого в шутку или всерьез называли «попом».