Фамилия Поцикайлик — редкая и с первого взгляда загадочная. Её разбор лучше всего начать не с корня, а с суффикса, который сразу выдаёт географию происхождения. Суффикс -ик (в форме -ик-ий, стянувшейся до -ик) вместе с типичным украинским окончанием -й указывает на западноукраинское или польское влияние. В украинской ономастике суффикс -ик часто образует фамилии от личных имён или прозвищ, придавая им уменьшительно-ласкательный оттенок. Таким образом, Поцикайлик — это не что иное, как «маленький Поцикай» или «сын Поцикая».

Основа фамилии — Поцикай — тоже не случайна. Это глагольная форма повелительного наклонения: «поцикай» (от украинского «цикати» — цокать, издавать цокающий звук, или, в переносном смысле, быстро говорить, тараторить). Прозвище Поцикай мог получить человек, который говорил быстро, с цокающим призвуком, или же тот, кто работал с чем-то, издающим такой звук (например, кузнец, выбивающий ритм молотом). Есть и вторая, более прозаичная версия: «цикати» в некоторых говорах означало «тикать» (о часах) или «подгонять» (лошадь цоканьем). Прозвище могли дать суетливому, торопливому человеку.

Словообразовательная цепочка выглядит так: прозвище Поцикай → фамилия Поцикайлик (с суффиксом -ик, указывающим на потомка). Это типичная модель для украинских фамилий на -ик: Шевчик, Ковалик, Мельник. Однако в отличие от профессиональных прозвищ, Поцикайлик — прозвище по поведению или манере речи.

Встречается фамилия преимущественно в западных областях Украины (Львовская, Тернопольская, Ивано-Франковская области) и среди украинской диаспоры. В России она почти не фиксируется, что подтверждает её локальный, диалектный характер. Сравните с однокоренными: Цикалюк (с суффиксом -юк, распространённым на Волыни), Цикаленко (с типичным для центральной Украины -енко). Поцикайлик стоит особняком — более редкая форма, сохранившая глагольную основу в чистом виде.

Итог: ваш предок, скорее всего, был человеком с быстрой речью или живым нравом, жившим в западноукраинском регионе. Фамилия не связана с дворянством или известными историческими родами — это народное прозвище, ставшее родовым именем.