Фамилия Приеменко звучит характерно для украинской ономастики, и это первая подсказка. Суффикс -енко, распространённый на Левобережной и Степной Украине, указывает на происхождение от прозвища или имени отца: «Приеменко» — буквально «сын Приемы» или «потомок того, кого звали Приемой».

Корень «прием-» ведёт к глаголу «принимать». В украинском языке слово «прийма» имело несколько значений. Самое распространённое — «приёмыш», то есть приёмный ребёнок, взятый в семью на воспитание. В крестьянском быту так могли назвать мальчика, усыновлённого безродным или взятого в зятья в дом, где не было наследников. Прозвище Прийма давали либо самому приёмышу, либо — реже — человеку, который такого ребёнка приютил. Фамилия Приеменко, таким образом, могла означать «внук приёмыша» или «потомок того, кто был принят в чужой род».

Менее вероятная, но возможная версия — связь с профессией или социальной ролью. «Прийма» на некоторых территориях называли человека, который принимал товар, сборщика податей или даже сторожа при въезде. Однако в антропонимии эта версия уступает бытовой: прозвища по родству и семейному положению встречались чаще, чем по должности.

Фамилия Приеменко — не самая распространённая, но встречается в центральных и восточных областях Украины, а также в южных регионах России, куда шли потоки переселенцев. В дореволюционных метрических книгах её фиксировали в Полтавской, Харьковской и Екатеринославской губерниях. В русском написании буква «и» в корне сохранилась, хотя в украинском варианте чаще писали «Прийменко» — через «й» и с ударением на второй слог.

Интересно, что фамилия Приеменко стоит в одном ряду с однокоренными Приймак, Приймаков, Приёмышев. Но если Приймак — прямая форма прозвища, то Приеменко — уже патроним, указывающий на второе поколение носителей. Это говорит о том, что фамилия оформилась не в момент получения прозвища, а когда дети «Приемы» стали самостоятельной семьёй.