Фамилия Прыймаченко — украинская по происхождению, и её разговорная, почти бытовая основа сразу выдаёт человека из простонародья, а не из дворянской или священнической среды. Корень здесь — глагол «приймати» (принимать), а точнее его повелительная форма «приймай» или основа «прийм-». В украинских говорах «прыйма» или «прыймак» — это приёмыш, то есть ребёнок, взятый в семью на воспитание, или, в более узком смысле, зять, который после женитьбы жил в доме родителей жены и нёс все хозяйственные обязанности.

Модель образования типична для украинских фамилий на -енко, которые в XVI–XVIII веках массово формировались на территории Поднепровья, Слобожанщины и Запорожья. Суффикс -енко означает «сын» или «потомок», поэтому Прыймаченко — буквально «сын приймака» или «потомок приёмыша». Это одна из тех фамилий, которые не придумывали в канцелярии, а давали в селе по живой характеристике: если отец или дед был пришлым зятем или взятым в дом сиротой, за ним и закреплялось такое прозвище.

Интересно, что начальное «П» в украинской фамилии сохранило древнее чередование: в русском языке мы бы ожидали «Приймаченко» (с буквой «и»), но в украинской орфоэпии и правописании «и» и «ы» различаются, и форма «прый-» фиксирует именно южнорусское или восточноукраинское произношение. Встречаются также варианты Приймаченко и Приймак — это однокоренные фамилии, но Прыймаченко стоит ближе к конкретному говору, возможно, Полтавщины или Черкащины.

Социальный контекст здесь простой: носитель такой фамилии в XVII–XIX веках почти наверняка был крестьянином или казаком, не имевшим наследственной земли. Приймаки часто находились в зависимом положении, но фамилия не несла уничижительного оттенка — она просто констатировала факт родства через принятие в семью. В современной Украине фамилия встречается, но не слишком часто, что делает её узнаваемой и нестёртой.