Фамилия Пучайте — нечастая и неочевидная. В ней нет привычного русского суффикса -ов, -ин или -ский, поэтому сразу ясно: перед нами не великорусская фамилия, а скорее всего, украинская или белорусская по происхождению. Формант -ай, -ей, -ий в фамилиях такого типа часто указывает на прозвищное происхождение или на форму, застывшую в звательном падеже.

Корень «пуч» или «пуч-а» в восточнославянских говорах многозначен. Самое вероятное — связь с глаголом «пучить» (пухнуть, вздуваться, топорщиться). Прозвище Пучай или Пуча мог получить человек с заметной внешностью: крупный, полный, с выпуклыми глазами, или, наоборот, суетливый, «надутый», важный. В украинском языке «пучати» означает «выпучивать» (глаза), так что прозвище могло относиться к тому, кто широко открывал глаза от удивления или гнева.

Менее очевидная, но возможная версия — топонимическая. В польском языке есть слово «pucz» (пуч, мятеж), а в литовском «pučia» — дуть, веять. Однако для украинской и белорусской среды естественнее бытовая, описательная основа. Форма Пучайте — это, скорее всего, украинская фамилия на -ай, где конечное -те могло появиться как диалектное окончание или как след польского влияния (сравните с фамилиями типа Деркайте, Гуляйте). Встречается она преимущественно на западе Украины и в приграничных районах Беларуси.

Словообразовательная модель проста: основа Пуча- (прозвище) + суффикс -й- (в украинском часто даёт фамилии на -ай, -ей) + окончание -те, которое могло закрепиться в форме множественного числа или как архаичная звательная форма. В любом случае, фамилия Пучайте — это не отчество, а прозвищная фамилия, образованная напрямую от личной характеристики предка.