Фамилия Пурпышев — редкая, и её происхождение не очевидно. В отличие от множества фамилий на -ов, образованных от крестильных имён (Иванов, Петров), здесь основа нестандартная. Чтобы понять её смысл, нужно разобрать слово по частям и обратиться к диалектам.

Корень «Пурп-» или «Пур-» — самый тёмный участок. Скорее всего, он восходит к прозвищу, которое дали человеку по внешности, характеру или роду занятий. В русских говорах слово «пурга» (метель) могло стать основой для прозвища Пурга — так называли суетливого, быстрого или беспокойного человека. Однако суффикс -ыш- в середине фамилии (Пурп-ыш-ев) указывает на другую модель. Суффикс -ыш в русском языке часто образует названия детёнышей (гадёныш, малыш) или прозвища по характерному признаку (глупыш, крепыш). Значит, Пурпыш — это либо «тот, кто похож на пурпу» (уменьшительно-пренебрежительная форма), либо производное от глагола «пурпать» (если такой существовал в говорах).

Версия с диалектным глаголом выглядит правдоподобнее. В ряде северных и сибирских говоров «пурпать» означало «бормотать, ворчать, говорить невнятно». Тогда Пурпыш — человек, который бормочет себе под нос, ворчун. Суффикс -ыш здесь выполняет ту же роль, что и в слове «ворчун» (сравните: ворчать — ворчун, пурпать — пурпыш). Фамилия Пурпышев, таким образом, могла означать «сын Пурпыша», то есть потомок ворчливого или неразборчиво говорящего предка.

Суффикс -ев, а не -ов, в конце фамилии — не случайность. Он присоединяется к основам, оканчивающимся на мягкий согласный или шипящий (Пурпыш — Пурпышев). Это стандартная русская модель, указывающая на принадлежность («чей?» — Пурпышев).

Географически фамилия тяготеет к северным регионам России, особенно к Архангельской области и Коми. Там слово «пурпать» и его производные фиксировались в живой речи. За пределами этих мест Пурпышевы встречаются редко, что подтверждает диалектную природу корня.

Никакой связи с тюркскими или финно-угорскими языками в данном случае не прослеживается, хотя фамилия звучит необычно. Это чисто русское прозвищное образование, которое со временем закрепилось как фамилия. В словарях Б. Унбегауна или В. Никонова прямого упоминания фамилии Пурпышев нет, но словообразовательная модель (корень + -ыш + -ев) хорошо описана в работах по исторической ономастике.