Фамилия Пурсякова образована от мужского прозвища Пурсяк. Основа фамилии — редкое слово, которое сохранилось в русских говорах. В словаре Владимира Даля «пурсой» называют хмурого, сердитого человека, а также плохую погоду — слякоть, метель, дождь со снегом. Соответственно, Пурсяком могли прозвать угрюмого и нелюдимого мужчину либо того, кто родился в ненастный день.

Фамилия построена по стандартной русской модели с суффиксом -ов, который присоединяется к основе на твёрдый согласный. В данном случае суффикс указывает на принадлежность: Пурсяков — сын Пурсяка. Окончание -а — типичное для женской формы фамилии в русском языке. В мужском варианте фамилия звучала бы как Пурсяков, но в тексте вы встретили именно женскую форму, что говорит о том, что речь идёт о женщине или о семье, где фамилию дали по матери.

По географическому распространению фамилия Пурсякова встречается в основном в северных и центральных регионах России, особенно в Вологодской и Архангельской областях. Это неслучайно: именно в северных говорах слово «пурса» и его производные сохранились лучше всего. В южнорусских областях эта фамилия практически не бытует.

Однокоренные фамилии — Пурсов, Пурсин, Пурсаков — встречаются реже, но все они восходят к тому же корню. Интересно, что в некоторых говорах «пурсой» называли также неопрятного, растрёпанного человека, поэтому прозвище могло относиться и к внешнему виду, а не только к характеру.

Таким образом, фамилия Пурсякова — редкая и выразительная, она прямо указывает на прозвище предка, которое давали по его угрюмому нраву или по обстоятельствам рождения в непогоду.