Фамилия Разбегаевы образована от личного прозвища Разбегай и относится к распространенному типу русских фамилий, построенных по модели «прозвище + суффикс -ев». Этот суффикс, как и более частотный -ов, указывал на принадлежность потомку человека с этим прозвищем: Разбегаев буквально значит «сын Разбегая».

Смысл прозвища неоднозначен. С одной стороны, Разбегаем могли назвать человека с отличными скоростными качествами, быстрого и резвого. С другой — прозвище могло указывать на неусидчивость: так говорили о том, кто вечно спешил, делал всё на бегу и неаккуратно. В некоторых говорах слово «разбегай» имело значение «ветрогон», что усиливает вторую версию. Не исключено и профессиональное происхождение: Разбегаем могли называть гонца или посыльного, чья работа требовала постоянного движения. Правдоподобнее выглядит версия о прозвище-характеристике: прозвища, описывающие манеру поведения, в русской антропонимии встречаются чаще, чем профессиональные.

Фамилия закреплялась в среде богатых людей уже в XV–XVI веках, когда фамилии начали передаваться из поколения в поколение. Однако у простых сословий этот процесс растянулся на столетия, поэтому точно сказать, когда и где именно возникла фамилия Разбегаев, сложно. В письменных источниках она встречается относительно поздно, что типично для фамилий, образованных от бытовых прозвищ, а не от канонических имен.

Среди носителей фамилии наиболее известен актер Вячеслав Разбегаев, знакомый зрителям по фильмам «На Дерибасовской хорошая погода, или На Брайтон-бич опять идут дожди», «Антикиллер» и сериалу «Грозовые ворота». Его фамилия — не редкий случай, когда звучное прозвище предка становится сценическим именем потомка, хотя сам актер прославился не скоростью, а характерными ролями.

Интересно, что фамилия Разбегаев не имеет однокоренных «двойников» вроде Разбежкин или Разбегалов, которые могли бы возникнуть из тех же говоров. Это делает её довольно узнаваемой: в ней слышится действие, движение, а не статичный признак. Такие «глагольные» фамилии — отдельный пласт русской ономастики, и Разбегаев — яркий его пример.