Фамилия Ремчуков — один из тех случаев, где за привычным славянским суффиксом -ов скрывается неочевидная и довольно редкая основа. Если сразу перейти к сути: ваш предок по мужской линии, скорее всего, был прозван Ремчук, а это имя, в свою очередь, образовано от слова «ремек» или «ремчук» — так в старых южнорусских и украинских говорах называли ремень, кожаный пояс или полоску кожи.

Модель образования здесь прозрачная: прозвище Ремчук (с уменьшительным или обиходным суффиксом -ук/-чук) плюс стандартный русский патронимический суффикс -ов, дающий ответ на вопрос «чей?» — сын Ремчука. В украинской традиции фамилия могла бы остаться просто Ремчук, но в русском документообороте (особенно при переписях и рекрутских наборах) её «обрусели», добавив окончание -ов. Поэтому географически фамилия тяготеет к югу России, к Курской, Воронежской, Белгородской областям, а также к бывшим слобожанским территориям, где смешивались русские и украинские говоры.

Что могло означать прозвище Ремчук? Самый прямой вариант — человек, который делал ремни: шорник, кожевник или просто мастер по кожаным изделиям. Ремесло это было ходовым: без ремней и поясов не обходилась ни крестьянская одежда, ни конская упряжь. Но есть и вторая, бытовая версия: прозвище могли дать за внешность или характер — например, сухощавому, жилистому человеку, которого сравнивали с узким ремешком, или, напротив, тому, кто «стягивал» домашних строгими порядками. Точного ответа здесь нет, но ремесленная версия надёжнее: прозвища по профессии в крестьянской среде были самой частой причиной появления фамилий.

В ономастических справочниках фамилия Ремчуков не относится к числу широко исследованных, в отличие от Ремизова или Ремнева. Она не упоминается в классическом труде Б. Унбегауна «Русские фамилии» как отдельная статья, но модель её образования полностью вписывается в описанные им принципы присоединения -ов к основам на -ук/-чук. По сути, это редкий случай, когда профессиональное прозвище сохранилось в почти неизменном виде и не было вытеснено более распространёнными формами вроде Ремнёв.

Если искать однокоренные параллели, то в русских говорах встречаются фамилии Ремчуков, Ремчук, а также Ремизов (от «ремиз» — ремешок у плети) и Ременников. Но Ремчуков стоит особняком: в нём слышна именно диалектная, «южная» огласовка слова «ремень». Так что, скорее всего, ваш предок был не просто ремесленником, а жителем тех мест, где говорили «ремчук», а не «ремешок».