Фамилия Реминной — это нестандартная форма, которую стоит разобрать отдельно, потому что на слух она воспринимается как притяжательное прилагательное (чей? — Реминной), но по происхождению скорее всего является застывшей формой родительного падежа. Чаще всего такие фамилии встречаются в северных и сибирских говорах, где бытовала модель «чей?» с ответом в родительном падеже: «сын Реминного» превращалось в фамилию Реминной. То есть перед нами не типичное -ин, а стяжённая форма от полного прилагательного с суффиксом -ин- и окончанием -ой.

Основа фамилии — Ремин. Это либо прозвище, либо (что вероятнее) вариант крестильного имени Рем или Ремий. В святцах есть имя Ремигий (от латинского remigius — «гребец»), которое в просторечии сокращалось до Рем. В русских говорах слово «рема» означало «ремень» или «петля» — возможно, прозвище Ремя давали мастеру по кожевенному делу или человеку с характерной деталью одежды. Однако в фамилии Реминной корень без смягчения (Рем-, а не Рём-), что склоняет к имени, а не к ремеслу.

Географически фамилия редкая. Она не фиксируется в массовых списках дворянства или купечества — скорее всего, это крестьянская или мещанская фамилия из северных губерний (Архангельская, Вологодская), где притяжательные формы на -ой держались дольше всего. Если предок носителя носил имя Рем (или прозвище Рема), то его сына в документах могли записать как «Ремин сын», а в быту звать Реминной — так и закрепилось.

Спорных версий здесь немного: пытаться выводить фамилию от слова «реминисценция» или от фамилии Рембрандт — натяжка, потому что такие заимствования в русской ономастике появлялись только в конце XIX века и в единичных случаях, а Реминной — фамилия явно архаичная по форме.