Фамилия Рибичкова — женская форма от Рибичков, и её разумнее всего разбирать через мужской вариант. Основа здесь — прозвище или неканоническое имя Рибичко. В русской ономастике суффикс -к-о (в именительном падеже) типичен для украинской и южнорусской традиции: он образует уменьшительно-ласкательные или прозвищные формы от личных имён и нарицательных слов. Рибичко — это, скорее всего, производное от «рыба» (через чередование ы/и в говорах или под влиянием украинского «риба»). То есть предка могли прозвать Рыбичко — маленькая рыбка, рыбёшка, либо человек, связанный с рыбной ловлей или торговлей рыбой.

Суффикс -ов- (в форме Рибичков) превращает прозвище в фамилию, отвечающую на вопрос «чей?» — сын Рибичко. Модель стандартна для восточнославянских фамилий, особенно распространённых на территории бывшей Черниговской, Полтавской и южных великорусских губерний. Фамилия Рибичков фиксируется в переписях XIX века в Курской и Воронежской губерниях — областях, где смешивались русские и украинские говоры, а слово «риба» было в ходу.

Вторая, менее вероятная версия связывает основу с диалектным глаголом «рибить» — рябить, пестрить. Тогда прозвище Рибичко мог получить человек с рябым лицом или пёстрой одеждой. Но в этом случае фамилия тяготела бы к северным говорам, где «рибить» встречается чаще, а географические данные указывают на юг, так что первая версия убедительнее.

Окончание -а в женском варианте — чисто грамматическое: дочь или жена Рибичкова. Фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или мещанская, без герба и громкой истории. Её ценность в другом: она сохранила живое прозвище, которое в XIX веке могли дать рыбаку или просто невысокому юркому человеку.