Фамилия Римейкис — редкий для России пример литовской фамилии с ярко выраженной словообразовательной моделью. Её основа — личное имя Римейка (Rimeika), которое в литовской антропонимии восходит к корню rim- (от rimit — «успокаиваться», «затихать») или к слову rima — «тишина», «покой». Таким образом, прозвище Римейка могло означать «спокойный», «тихий» человек.

Суффикс -ис (-is) в конце — классический литовский патронимический показатель, соответствующий русскому «сын» или «потомок». Фамилии с таким окончанием в Литве массово формировались в XVI–XVIII веках, когда крестьяне и мещане получали наследственные прозвища. Римейкис буквально значит «сын Римейки» или «из рода Римейки».

Встречается эта фамилия почти исключительно в Литве и среди литовской диаспоры. В России, Беларуси и Польше она могла появляться у литовцев, переселившихся в ходе миграций XIX–XX веков, или у потомков литовских дворян и крестьян, оказавшихся на территории бывшей Речи Посполитой. Поскольку фамилия не получила русифицированного окончания (-ов, -ин), её носители, скорее всего, сохраняли литовскую идентичность и не ассимилировались полностью.

С точки зрения социального происхождения, Римейкис — типичная крестьянская или мещанская фамилия. Дворянские литовские роды чаще оформлялись с суффиксом -ский (например, Римейковские) или имели гербовую привязку. Здесь же мы видим простую патронимическую модель без сословных маркеров.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то в Литве встречаются Римейка (Rimeika) — более старая форма без суффикса, и Римкус (Rimkus) — от того же корня, но с другим суффиксом. Римейкис — одна из тех фамилий, где литовское происхождение не вызывает споров: прозрачная основа и типовое окончание дают чёткую картину без необходимости гадать на тюркских или славянских корнях.