Фамилия Римкин образована по одной из самых распространённых в русской ономастике моделей — от имени или прозвища с помощью суффикса -ин, указывающего на принадлежность («чей?»). Основа здесь — Римка. Это не что иное, как уменьшительно-ласкательная форма крестильного имени Римма, которое в святцах числится мужским. В русской традиции, однако, имя Римма почти сразу перешло в женский разряд, но в XVI–XVII веках его могли давать и мальчикам, особенно в простонародной среде. В результате Римкин — потомок человека, которого в быту звали Римка.

Версия о происхождении от географического названия (город Рим) маловероятна: для такого случая фамилия звучала бы как Римов или Римский. Суффикс -кин здесь не топонимический, а патронимический, то есть отцовский. Поэтому первый носитель фамилии — скорее всего, сын или внук Римки.

Стоит учитывать, что имя Римма, как и многие другие греческие и латинские имена, пришло на Русь вместе с христианством. В святцах оно связано с тремя мучениками-скифами, пострадавшими за веру, — Инной, Пинной и Риммой. Этот факт придаёт фамилии неожиданный исторический оттенок: предок Римкиных мог быть назван в честь одного из раннехристианских святых, хотя в народе это имя быстро потеряло книжный оттенок и стало восприниматься как простое, «деревенское».

По сословному составу Римкины — типичная крестьянская или мещанская фамилия. Встречается она преимущественно в центральных и северных регионах России, особенно в бывших Новгородских и Вологодских землях. Редкая, но не уникальная — её можно найти в метрических книгах XIX века, где записаны крестьяне, солдаты и мещане.

Интересная деталь: в некоторых говорах слово «римка» могло означать не только имя, но и прозвище — например, человека, который любил щегольнуть, «вырядиться по-римски» или просто носил что-то необычное. Но это лишь косвенная версия, которая не отменяет основного объяснения: Римкин — «сын Римки».