Фамилия Римкус образована от именования Римке, которое восходит к литовскому слову rimtis – «спокойствие». Возможно, что именование Римке было прозвищем, которое получил спокойный невозмутимый человек. Однако не исключено, что именование Римке было древним литовским именем. Также возможно, что именование Римке было краткой формой распространенного литовского имени Римкантас (Кантримас), которое образовано от двух слов: rimtis – «спокойствие» и kantrus – «терпение». Таким образом имя Римкантас можно перевести на русский как «спокойный и терпеливый». Так, в документах начала XX века упоминаются: Римкус Витенис сын Ярослава (родился в 1930 году в Литве; литовец), Римкус Ионас сын Ионаса (родился в 1920 году в местечке Векшняй Мажекляйского уезда Литвы), Римкус Казимир Иосифович (родился в 1896 году в Ковенской губернии в с. Куничишки, литовец) и др.