Фамилия Рымшина — женская форма фамилии Рымшин, а та, скорее всего, образована от прозвища или мирского имени Рымша. В русских фамилиях суффикс -ин типичен для основ, оканчивающихся на -а или -я, так что Рымша — исходная форма. Слово «рымша» в русских говорах не встречается как общеупотребительное, и здесь открывается простор для версий.

Самый вероятный корень — диалектное «рым» или «рыма», которое в рязанских, тамбовских и воронежских говорах означало «угрюмый, суровый человек», а также «ворчун» или «брюзга». В словаре Даля «рымза» (с вариантом «рымша») зафиксирована как «плакса» или «капризный ребёнок». Прозвище Рымша мог получить либо человек с тяжелым, необщительным характером, либо, наоборот, в семье так дразнили капризного малыша — и прозвище закреплялось за взрослым.

Вторая версия, менее распространенная, но имеющая право на существование, — связь с литовским или польским словом rymas («римлянин») или с фамилией Rymszewicz. В Речи Посполитой, особенно на территории современной Беларуси и Литвы, фамилии с основой Рым- встречались среди шляхты и мещан. Однако суффикс -ша скорее указывает на русскую или белорусскую народную форму, а не на польскую дворянскую.

Третья версия — отголоски тюркского «рым» (смысл — «обрыв», «круча») или калмыцкого «рымш» (название растения). Но это уже экзотика: фамилия Рымшины фиксируется в основном в центральных и южнорусских областях, где тюркские заимствования редки, а прозвищная модель «Рымша — Рымшин» органично вписывается в русскую ономастику.

Таким образом, предок носительницы фамилии Рымшина с высокой вероятностью получил прозвище за характер: угрюмый, ворчливый или капризный человек. Фамилия не относится к числу древних дворянских, скорее крестьянская или мещанская, и, судя по географии, встречается в Воронежской, Рязанской и Липецкой областях. Встречается она нечасто, что делает её особенно интересной для семейного поиска.