Фамилия Сааме — редкий случай в русском ономастиконе. Её происхождение напрямую связано с эстонским или финским языком, а не с исконно славянской моделью. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий на -ов, -ин или -ский, Сааме не имеет суффикса принадлежности. Это чистая основа, которая попала в русский контекст без грамматической перестройки.

Корень фамилии — самоназвание народа: «сааме» (saame) — так эстонцы и финны называют саамов (лопарей). В русском языке закрепилось слово «саамы», а форма «сааме» — это множественное число на эстонский манер (rahvas ‘народ’, но saame ‘саамы’). Таким образом, фамилия Сааме — этноним: её дали человеку, который либо сам был саамом по происхождению, либо жил среди саамов, торговал с ними или получил такое прозвище от соседей.

Географически фамилия тяготеет к Северо-Западу России: к Карелии, Мурманской области, а также к Эстонии. Встречается она крайне редко — по открытым данным, в России её носят буквально несколько десятков человек. Такая малочисленность объясняется тем, что фамилия не прошла через массовую русификацию: в XIX веке саамов и эстонцев часто записывали с фамилиями, образованными по русским моделям (например, Саамов, Лопарев), а форма Сааме сохранилась либо у тех, кто остался в прибалтийском регионе, либо у переселенцев, которых не успели «переоформить» в канцеляриях.

Интересно, что фамилия Сааме — не единственная среди этнонимов, застывших в именительном падеже. Похожая судьба у фамилий Чудь, Сумь, Емь, но они ещё реже. Здесь же мы видим не древнерусское название, а современное самоназвание, что делает фамилию хронологически более поздней — скорее всего, она оформилась не раньше XVIII–XIX веков, когда контакты с финно-угорскими народами стали фиксироваться в метриках и ревизских сказках.

Если у ваших предков была эта фамилия, стоит искать корни в Приладожье, на Кольском полуострове или в северной Эстонии. Версия о «саамском» происхождении — основная и наиболее логичная: других устойчивых значений у слова «сааме» в русском языке нет.