Фамилия Садыр — редкий случай, когда основа почти наверняка не славянская, а тюркская или иранская. В русском быту она выглядит как «короткая» фамилия без суффикса, что сразу выдаёт её позднее происхождение или нерусские корни. В классической русской модели фамилии образуются с помощью -ов/-ев, -ин, -ский. Здесь этого нет, значит, перед нами либо фамилия, застывшая в форме прозвища, либо принесённая из другого языка уже в готовом виде.

Самый прямой след ведёт в тюркские языки. Слово «садыр» (или «садыр») в некоторых тюркских наречиях означает «редкий», «редкостный», «особенный». В казахском языке есть имя Садыр, которое восходит к арабскому «садр» — «грудь», «передняя часть», но в переносном смысле — «лидер», «предводитель». В османском контексте «садр» — это титул великого визиря. Так что фамилия могла образоваться от личного имени, данного ребёнку с пожеланием стать главным, первым.

Менее вероятная, но возможная версия — иранская. В некоторых диалектах «садыр» может означать «холодный», «суровый» (о климате или характере). Если предок жил в горной местности, такое прозвище могло закрепиться за ним как характеристика нрава.

Географически фамилия Садыр встречается в основном у народов Северного Кавказа (осетины, чеченцы), у татар и башкир, а также у казахов. В русских документах она могла появиться в XIX — начале XX века, когда тюркские имена и прозвища фиксировали в метриках как фамилии. Носители фамилии в России чаще всего живут в Поволжье, на Урале и в Сибири — по пути миграции тюркских народов.

Итог: фамилия Садыр — это, скорее всего, память о предке, которого называли «редким» или «главным». Она не получила русского суффикса, потому что пришла в язык поздно или сохранила исходную форму как дань традиции.