Фамилия Саина — редкий случай, когда географический разброс подсказывает два разных корня. С одной стороны, она встречается на Кавказе, особенно в Осетии, где «Сайна» может быть формой имени или прозвища, связанного с осетинским «сай» — «олень» или «сайын» — «бродить, кочевать». С другой стороны, фамилия фиксируется в русских регионах, и там её происхождение иное.

В русской традиции фамилия Саина образована от женского имени Саина — просторечной формы канонического имени Савватия или Савина. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Саина — «дочь или жена Саины», то есть человека, которого в быту звали Саина. Такая модель типична для фамилий, возникших в крестьянской среде на севере и в центральной России, где отчество от женского имени давали, если мать была главой семьи или вдовой. Впрочем, не исключён и вариант, что основа — прозвище Сая, от глагола «саять» (сиять, блестеть) или диалектного «сай» — «грязь, слякоть». Второе звучит малопривлекательно, но в ономастике такие бытовые прозвища — обычное дело.

В осетинском ареале фамилия чаще пишется как Сайна или Санаев, и там она связана с топонимом Сайнаг или с именем родоначальника. Осетинские фамилии на -а часто не имеют русского суффикса -ин, но при русификации могли получить окончание «-ина» по аналогии. Поэтому Саина у осетин — это, скорее, адаптированная форма исконной фамилии, а не русская патронимическая конструкция.

Интересно, что фамилия Саина не упоминается в классических словарях русских фамилий (Унбегаун, Никонов) — это говорит о её малочисленности или локальном бытовании. В современных базах данных она встречается в единичных записях по Кабардино-Балкарии, Северной Осетии и нескольким областям центральной России. Такой разброс подтверждает: перед нами не одна фамилия, а омонимы, возникшие в разных языковых средах. Если ваши предки — с Кавказа, ищите осетинские корни; если из русских губерний — скорее всего, фамилия от имени Саина или прозвища Сая.