Фамилия Сарсатский — редкая и географически привязанная. Её основа — топоним, то есть название населённого пункта. Судя по типичному для польско-шляхетских и западнорусских фамилий суффиксу -ский, предки Сарсатских получили фамилию по месту, откуда были родом или где владели землёй. Исходное название — скорее всего, Сарсат (или Сарсаты). Такое имя могло носить село, хутор или урочище.

Где искать это место? Вероятнее всего, на территории современной Беларуси или восточной Польши. В польских и белорусских говорах «сарсат» не имеет прямого понятного значения, поэтому корень, скорее всего, балтского или финно-угорского происхождения, переосмысленный славянами. Например, в литовском языке есть слово «sarsas» — «сорока» (птица). Если поселение назвали по птице, то Сарсат могло означать «сорочье место». Менее вероятна, но возможна связь с диалектным «сарса» — вид грубой ткани или мешковины, но это слово скорее тюркского происхождения и редко встречается в топонимике запада.

Суффикс -ский в фамилии указывает на дворянское или, по крайней мере, служилое происхождение носителя. В Речи Посполитой и Российской империи фамилии на -ский (и их варианты на -цкий) были распространены среди шляхты, духовенства и зажиточных крестьян, переселившихся из одного поместья в другое. Сарсатский — не исключение. Фамилия не массовая, что говорит о локальном роде, вероятно, мелкопоместной шляхте или однодворцах, чьё гнездо находилось в одном конкретном селе.

В написании фамилии возможна вариантность: в старых документах встречается Сарсацкий (с упрощением «тс» в «ц»), что фонетически естественно для польского и западнорусского произношения. Если ваши предки происходят из-под Минска, Гродно или Витебска, версия с балтским корнем становится основной. Проверить это можно по метрическим книгам XIX века — именно там чаще всего встречается привязка к конкретному приходу.