Фамилия Саткаевы — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а топоним, и притом довольно специфический. Она явно образована от названия реки Сатка в Челябинской области или от одноимённого города (Саткинский район). Модель проста: основа «Сатка» плюс тюркский притяжательный суффикс -ев (вариант -ов после мягких основ), который указывает на принадлежность: «Саткаевы» — это буквально «люди с Сатки», выходцы с этой реки или из этого поселения.

Суффикс -ев, а не -ин, сразу говорит о том, что фамилия закрепилась в русской письменной традиции, но сама основа звучит по-тюркски. В башкирском и татарском языках «сатка» может означать «преграда», «запруда» или «плотина» — это вполне объяснимо для реки с порогами и перекатами. Есть и другая версия: от башкирского «сат» (болото, топь) с уменьшительным -ка. Но географическая привязка здесь сильнее, чем прозвищная: фамилия Саткаевы распространена именно на Южном Урале и в Башкортостане, а не по всей России.

Словообразовательный анализ показывает, что это не патроним (не от имени Саткан или Сатко) и не прозвище по ремеслу. Скорее всего, фамилию получили крестьяне или казаки, переселившиеся с реки Сатка в другие места — для отличия от однофамильцев или просто по месту прежнего жительства. В ономастических справочниках (например, у Б. Унбегауна) такие «топонимические» фамилии на -ев/-ов описываются как типичные для русского населения, освоившего земли вдоль Урала и Поволжья.

Сложность в том, что фамилия не массовая, и её носители не фигурируют в дореволюционных дворянских родословных книгах. Это говорит о крестьянском или мещанском происхождении. Встречается она в основном в Челябинской области, Башкортостане и у татар, принявших православие. Если ваш предок носил фамилию Саткаев, он почти наверняка был выходцем с горнозаводского Урала, возможно, из окрестностей города Сатка, где с XVIII века работали железоделательные заводы.