Фамилия Савосткина — женская форма мужской фамилии Савосткин. Её основа — прозвище или неканоническое имя Савостка, которое, в свою очередь, восходит к крестильному имени Савватий (в просторечии — Савостя, Савостей). Савватий — имя греческого происхождения, означающее «субботний, посвящённый субботе» (от «саббатон» — суббота). В русских говорах имя быстро обрастало уменьшительными формами: Савка, Савостьян, а Савостка — одна из них, с характерным для восточнославянской антропонимии суффиксом -к-, который придавал имени бытовой, «домашний» оттенок.

Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: Савосткин буквально означает «сын Савостки» или «человек из рода Савостки». Такая модель типична для северных и центральных областей России, где фамилии на -ин распространены шире, чем на юге. Савосткины, скорее всего, происходят из крестьянской или мещанской среды: в документах XVII–XVIII веков подобные фамилии фиксировались у посадских людей и однодворцев, особенно в рязанских, тамбовских и владимирских землях.

Интересная деталь: написание фамилии через букву «о» (Савосткин, а не Савасткин) — не случайность. В русских говорах имя Савватий часто произносили с «аканьем»: Сава́тий, но в уменьшительной форме под ударением сохранялось «о» — Саво́стка. Фонетика закрепилась в письменном варианте, и фамилия не перешла в «акающее» написание, в отличие от, например, Савастополь (искажённое Севастополь). Это указывает на то, что фамилия сложилась в местности, где «аканье» не было господствующим, или же на раннюю фиксацию в документах.

Родственные фамилии — Савостин, Савостьянов, Савватеев — все от одного имени, но с разными суффиксами. Савосткина стоит в этом ряду как редкий вариант: по данным современных справочников, она встречается в основном в Поволжье и на Урале, что может говорить о миграции носителей из центральных губерний в XVIII–XIX веках.