Фамилия Шадой — редкий случай, когда основа не даёт однозначного ответа и заставляет выбирать между географией, этнонимом и диалектным словом. Сразу заметим: окончание -ой нетипично для русских фамилий, образованных от прозвищ (обычно -ов, -ев, -ин), и указывает либо на заимствованную форму, либо на фиксацию именительного падежа в качестве фамилии. Скорее всего, перед нами не славянская, а кавказская или тюркская фамилия, адаптированная русским письмом.

Наиболее вероятная версия связывает фамилию Шадой с чеченским или ингушским этнонимом «шадой» — названием одного из тейпов (родовых объединений). В Чечне и Ингушетии тейп Шадой (Шада) известен, его представители живут в равнинных и предгорных районах. Если предок носил фамилию Шадой, он мог быть выходцем из этого тейпа, а фамилия закрепилась как родовое имя при переходе на русскую паспортную систему. Окончание -ой в таком случае — калька с вайнахского суффикса принадлежности.

Вторая гипотеза выводит фамилию из тюркских языков, где «шад» (şad) означает «радость, веселье» (ср. турецкое şad — «радостный», древнетюркское šad — титул правителя). Тогда Шадой — тюркское прозвище, которое мог получить жизнерадостный человек или, наоборот, носитель высокого титула. Однако в русской среде фамилия на -ой от тюркской основы встречается редко, чаще такие прозвища переоформлялись в Шадов или Шадин.

Третья, менее убедительная версия — связь с географическим названием. В Грузии есть село Шади (Шадой), в Азербайджане — село Шадой. Предок мог получить фамилию по месту рождения. Но для массового бытования фамилии эта версия слаба: Шадой — не частая фамилия, её носители в основном фиксируются на Северном Кавказе и в среде чеченской диаспоры.

Что касается морфологии: фамилия стоит в форме именительного падежа мужского рода, не склоняется по падежам как типичная русская фамилия на -ой (ср. Толстой — склоняется, но Шадой — нет, это указывает на иноязычное происхождение). В женском варианте фамилия не изменяется.

Таким образом, если вы встретили фамилию Шадой, её носитель с высокой вероятностью имеет чеченские или ингушские корни, а фамилия восходит к названию тейпа. Тюркская версия менее вероятна, но полностью исключать её нельзя — без генеалогических данных точный ответ дать сложно.