Фамилия Шадий — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Чтобы разобраться, откуда она взялась, нужно посмотреть на её окончание и возможные корни, а не пытаться подогнать под стандартные модели.

Первое, что бросается в глаза — суффикс -ий. В русских фамилиях этот суффикс встречается реже, чем -ов или -ин. Чаще всего он указывает на притяжательность: «чей?» — Шадий, то есть «сын (или слуга) Шада». В украинской и белорусской традиции фамилии на -ий (вроде Шевченко, но в иной форме) тоже возможны, но для русского ономастикона это скорее исключение. Более вероятно, что перед нами фамилия, образованная от прозвища или имени, которое заканчивалось на -а или -о, с последующим добавлением суффикса -ий по аналогии с фамилиями типа «Толстой» (от «толстый»), но здесь основа другая.

Корень Шад- — самый спорный момент. У него нет очевидного славянского значения. В древнерусском языке слова «шад» не было. Поэтому нужно смотреть в сторону тюркских и иранских языков. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) «шад» (шат) означает «радостный», «весёлый». Это могло быть личное имя или прозвище, которое давали жизнерадостному человеку. Учитывая, что на юге России и в Поволжье тюркские имена и прозвища часто русифицировались, фамилия Шадий могла появиться как раз в среде крещёных татар или башкир, где имя Шад (или Шат) бытовало, а при переходе в православие его оформили русским суффиксом.

Вторая версия, менее популярная, но имеющая право на существование — от арабского имени Шади (شادي), которое переводится как «певец», «поющий». Через Кавказ или Среднюю Азию это имя могло попасть в русскую среду, но здесь мы видим окончание -ий, а не -и, что наводит на мысль, что это не прямая транслитерация, а уже русская адаптация.

Географически фамилия Шадий встречается в основном на юге России: в Краснодарском крае, Ростовской области, а также в Западной Сибири, куда переселенцы привезли её в XIX–XX веках. В центральных областях России она практически не фиксируется. Это косвенно подтверждает тюркскую версию: именно в южных степях и на Кавказе происходило смешение славянского и тюркского населения.

Таким образом, наиболее правдоподобное объяснение: фамилия Шадий образована от тюркского прозвища Шад («радостный») с помощью русского патронимического суффикса -ий. Предок носителя этой фамилии, скорее всего, был выходцем из тюркской среды (татарин, ногаец или башкир), получившим прозвище за весёлый нрав, или же его имя было просто русифицировано при крещении.