Фамилия Шалюте — редкая, и её происхождение почти наверняка связано с литовским или белорусским языковым субстратом. С первого взгляда бросается в глаза характерный суффикс -юте (-ute). В литовской ономастике это уменьшительно-ласкательный суффикс, который часто входит в состав женских фамилий (например, Шалюте — дочь или жена Шалюса). Однако в русской традиции, особенно в западных губерниях Российской империи, такую форму могли закрепить за целым родом, не меняя окончания по полу. Таким образом, основатель рода мог носить прозвище или имя Шалюс, а его потомки получили фамилию с этим характерным «литовским» окончанием.

Корень «шал-» в балтийских языках многозначен. Наиболее вероятная версия ведёт к литовскому šalus — «сторона», «бок». В этом случае прозвище Шалюс мог получить человек, живший на отшибе, «сбоку» от основной деревни, или тот, кто держался особняком. Менее распространённая, но возможная гипотеза — связь с диалектным šalnas («иней») или глаголом šalti («мерзнуть, стынуть»). Тогда прозвище могло относиться к человеку с холодным, неприступным характером или, напротив, к тому, кто родился в холодную пору.

С точки зрения словообразования, Шалюте — это не типичная русская фамилия. В ней нет суффиксов -ов, -ин или -ский, которые указывали бы на принадлежность к великорусскому крестьянству или дворянству. Её форма — «чистая» основа с литовским окончанием — говорит о том, что носители, скорее всего, происходят из среды балтийского или западнорусского (пограничного) населения, где фамилии часто не переоформлялись на славянский лад. Встретить такую фамилию можно не в центральной России, а в Литве, Калининградской области, а также в исторических регионах Беларуси и Польши.

Интересно, что при переходе в русские документы фамилия могла искажаться: Шалюте, Шалють, Шалюта. Вариант с окончанием -а (Шалюта) — типичная русификация, когда «неудобное» -е заменяли на привычное -а, не меняя корня. Если ваш предок записан как Шалюте, это указывает на более позднюю, «чистую» фиксацию исходной формы, возможно, уже в советских паспортных столах, когда стремились к точности.