Фамилия Щадрина — женская форма от Щадрин, и в её основе лежит прозвище, а не церковное имя. Мужской вариант Щадрин образован с помощью суффикса -ин, который в русской традиции указывал на принадлежность: Щадрин — «сын Щадры» или «человек из семьи Щадры». Прозвище Щадра (или Щадр) скорее всего связано с прилагательным «щадрый» — так в северных и сибирских говорах называли щедрого, расточительного, не скупого человека. Слово «щадрый» — диалектный вариант литературного «щедрый», где произошла замена е на а, характерная для окающих говоров.

Вторая версия, менее распространённая, выводит прозвище от щедрости в прямом смысле — от глагола «щадить» (беречь, жалеть). Но здесь логика слабее: прозвище Щадра скорее давали тому, кто не жалеет, а раздаёт, чем тому, кто бережёт. Поэтому связь с «щадрый» (щедрый) выглядит естественнее и подтверждается живыми диалектами.

Фамилия Щадрин (и Щадрина) — не частотная, но устойчиво встречается на Русском Севере, в Вологодской, Архангельской областях и в Сибири, куда переселенцы принесли северные говоры. В этих же регионах бытуют однокоренные фамилии Щадров, Щадриков — они образованы от той же основы, но с разными суффиксами. Сравнение показывает, что Щадрин — самая прямая форма, буквально «из рода Щадры», в то время как Щадров могло возникнуть от полной формы Щадр с суффиксом -ов.

В дореволюционных переписях и метрических книгах Щадрины встречаются среди государственных крестьян и мещан, то есть фамилия не аристократическая, а народная, пошедшая от прозвища, которое дали в крестьянской или посадской среде. Если ваш предок был Щадриным, он, скорее всего, происходил из северных губерний, и его родоначальник получил прозвище за щедрость — возможно, за хлебосольство или готовность поделиться последним.