Фамилия Шергашов образована по стандартной русской модели с суффиксом -ов, который указывает на принадлежность («чей?» — сын Шергаша). Основа здесь — прозвище Шергаш. Чтобы понять его значение, нужно разобрать слово по частям.

Первая часть, «шер-», скорее всего, восходит к тюркскому «шер» или «шир» — лев. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) это слово известно и как часть личных имён (например, Шерхан, Шермухаммед). Вторая часть, «-гаш», менее прозрачна. Возможно, это искажённое тюркское «каш» (бровь, счастливая примета) или «гаш»/«каш» в значении «камень» (в некоторых диалектах). Однако более вероятно, что «-гаш» — это просторечный или диалектный вариант суффикса, образующего прозвища, либо часть сложного слова, которое со временем стёрлось.

Наиболее правдоподобная версия: Шергаш — это составное тюркское прозвище, означающее «лев-бровь» или «лев-камень», то есть человек с густыми или чёрными бровями, как у льва, либо крепкий, несгибаемый, как камень. В среде татар, башкир или чувашей такие прозвища давали за внешность или характер. Фамилия Шергашов характерна для Поволжья и Приуралья — регионов, где веками жили тюркские народы в тесном контакте с русскими.

В русской ономастике фамилия редкая. Она не упоминается в массовых списках дворянских родов или купеческих династий, что указывает на крестьянское или мещанское происхождение. Скорее всего, предок носителя фамилии был крещёным татарином или башкиром, получившим фамилию по прозвищу при переходе в православие или при переписи населения. Суффикс -ов вместо тюркского -ин или -ев здесь не случаен: он стандартен для русских фамилий, и его выбрали при оформлении документов.

В написании возможны варианты: Шергашёв (с буквой ё) или Ширгашов, но форма Шергашов — основная и наиболее частая. Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на метрические книги Оренбургской, Уфимской или Казанской губерний XIX века — там фамилия могла фиксироваться в разном написании у одной семьи.