Фамилия Школьнай — редкий случай, когда написание прямо указывает на путь образования, но не даёт однозначного ответа о происхождении. В ней сразу заметна нестандартная модель: окончание -ай, а не привычные русские суффиксы -ов, -ин или -ский. Это заставляет искать корни в других языковых традициях.

Скорее всего, перед нами украинская или белорусская фамилия, образованная от прозвища Школьный. В этих языках прилагательные могли переходить в фамилии без дополнительных суффиксов, сохраняя окончание -ий или -ый. При переходе в русскую письменную традицию звук [й] на конце часто записывали буквой «й», а ударный гласный «о» под влиянием акающего произношения (особенно в южных говорах) мог замениться на «а». Так «Школьный» превратился в «Школьнай» — запись, которая закрепилась в документах.

Основа фамилии — «школа». Прозвище Школьный в XVI–XIX веках могли дать человеку, связанному со школой: учителю, дьячку, обучавшему детей грамоте, или ученику, который слишком много времени проводил за книгами. В крестьянской среде такое прозвище могло быть ироничным — так называли грамотея или, наоборот, того, кто «учился» уму-разуму слишком поздно. Встречается и версия, что прозвище давали по месту жительства — возле школы или на Школьной улице, но для сельской местности это менее вероятно.

Сравнение с однокоренными фамилиями подтверждает редкость модели. Фамилии Школьный, Школьников встречаются чаще и образованы стандартно: через суффикс -ов или через прямое прилагательное. Школьнай же стоит особняком — это, скорее всего, результат диалектной или канцелярской трансформации. В метрических книгах XIX века можно найти похожие случаи, когда фамилии «на -ый» записывали как «на -ай» из-за особенностей местного произношения или неграмотности писаря.

Таким образом, носитель фамилии Школьнай — потомок человека, которого в украинском или белорусском селе знали как Школьного. Кем он был — сельским учителем, дьячком или просто грамотеем — сказать сложно, но связь с образованием и книжностью остаётся главной версией.