Фамилия Школьнова образована от мужского варианта Школьнов. Она относится к распространённому типу русских фамилий с суффиксом -ов, указывающим на принадлежность: Школьнов — сын Школьного. Основа здесь — прилагательное «школьный», которое в старину могло быть прозвищем.

Самое прямое объяснение — прозвище Школьный давали человеку, связанному со школой. В России до XX века школа была явлением редким и заметным, поэтому прозвище мог получить учитель, церковный грамотей, ученик старшего возраста или даже тот, кто просто часто бывал при школе (например, сторож или прислужник). В крестьянской среде грамотный человек был на виду, и его выделяли такой фамилией.

Менее очевидная, но возможная версия связана с географическим названием. В разных губерниях существовали деревни Школьное, Школьный. В таком случае фамилия могла образоваться от названия места жительства: выходец из села Школьного получал прозвище Школьный. Суффикс -ов закрепил эту принадлежность уже как фамилию.

Интересно, что фамилия Школьнов встречается заметно реже, чем её женская форма Школьнова, что связано с обычной статистикой: в официальных записях женщин всегда больше, а мужская форма фиксируется в документах реже. По регионам фамилия рассеяна, но чаще попадается в центральных и южных областях России — там, где в XIX веке активнее открывались церковно-приходские и земские школы.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями (Школьников, Школьный), то Школьнов — более архаичная модель. Форма на -ов типична для фамилий, образованных от прилагательных с окончанием -ой/-ый в мужском роде (ср. Толстов, Хитров). Школьников же — более поздняя и прозрачная модель, прямо указывающая на профессию.