Фамилия Шурхаева — женская форма фамилии Шурхаев, и её происхождение стоит искать в мужском прозвище или имени, лёгшем в основу. Разберём её с точки зрения словообразовательной модели: суффикс -ев указывает на патронимическое происхождение, то есть на «сына (или потомка) человека по имени Шурхай». Сама основа Шурхай — довольно редкая и неоднозначная, что открывает простор для нескольких версий.

Самая вероятная версия связывает основу с тюркскими языками, распространёнными на Кавказе и в Поволжье. Корень «шур» может восходить к слову «шур» (солёный, горький) или к имени Шура (в арабском варианте — «совет», «совещание»), а «хай» — тюркский компонент, означающий «живи», «будь» (например, в именах типа Алхай, Бекхай). Таким образом, Шурхай могло быть составным личным именем со значением «живи в совете» или «будь крепким (как солёная вода?)». Второй вариант: «шур» в некоторых тюркских диалектах означает «слава», «известность», и тогда имя переводится как «живи во славе». Это правдоподобно, так как составные имена с пожелательной семантикой типичны для народов Северного Кавказа (чеченцев, ингушей, кумыков).

Менее вероятна, но допустима версия от арабского имени Шурайх (уменьшительная форма от Шура — «совет»), которое через народную этимологию могло превратиться в Шурхай. Однако для этого потребовалось бы дополнительное искажение, что делает эту гипотезу слабой.

Географически фамилия Шурхаев/Шурхаева наиболее характерна для Чечни, Ингушетии и Дагестана, где такие модели образования фамилий (основа + -ев) широко распространены. Встречается она и среди татар, но реже. Социальный контекст: предки носителей фамилии, скорее всего, были свободными общинниками или воинами, так как в тюркско-кавказской среде прозвища с пожелательной семантикой давали детям, чтобы подчеркнуть надежды родителей на благополучную судьбу.

Таким образом, если вы ищете корни фамилии Шурхаева, с наибольшей вероятностью она происходит от мужского имени Шурхай, бытовавшего в среде народов Северного Кавказа, и означает «живи в совете» или «будь славным». Фамилия редкая, и её носители, скорее всего, имеют вайнахские или дагестанские корни.