Фамилия Шушунава ясно указывает на грузинское происхождение. Её выдает характерный для западно-грузинских фамилий суффикс -ава (встречается в Мегрелии и Гурии). В грузинском языке такой суффикс обычно присоединяли к основе, чтобы образовать фамилию, часто со значением принадлежности или происхождения от человека, названного этой основой.

Основа фамилии — Шушуна. Скорее всего, это грузинское мужское имя или прозвище Шушана, которое восходит к древнееврейскому имени Сусанна (в переводе — «лилия»). В Грузии это имя известно в честь святой Шушаник (Шушаны), жившей в V веке и почитаемой как одна из первых грузинских мучениц. Таким образом, Шушунава буквально означает «потомок Шушаны» или «принадлежащий Шушане».

Встречается также версия, что основа может быть связана с мегрельским словом «шуша» — нечто маленькое, крошечное, или же с тюркским «шуш» — тихий, спокойный. Но имя Шушана в грузинской традиции настолько распространено, что именно оно выглядит наиболее вероятным источником. В пользу этого говорит и то, что фамилия нередко встречается в записях как Шушанава или Шушанашвили — у той же основы, но с другими фамильными суффиксами.

Фамилия Шушунава — нередкая на западе Грузии, особенно в регионе Самегрело. Носители её могли быть крестьянами, священнослужителями или ремесленниками, но точное сословное происхождение по фамилии не определить: мегрельские фамилии на -ава носили и князья, и простые земледельцы. В русскоязычной среде фамилия не склоняется, если принадлежит мужчине, и полностью неизменяема у женщин.