Фамилия Шыгалёв — редкий случай, когда написание напрямую указывает на диалектное произношение. В литературном русском языке корень звучал бы как «шегал-», но фамилия закрепила форму «шыгал-», характерную для южнорусских и некоторых белорусских говоров, где после шипящих и твёрдых согласных слышится и пишется «ы» вместо «и». Это сразу выдаёт регион происхождения: скорее всего, Курская, Орловская, Брянская области или смежные земли.

Основа фамилии — прозвище Шыгаль (или Шигаль). Его значение спорно, но есть две основные версии. Первая: от глагола «шигать» — в диалектах это «бросать, швырять», а также «быстро двигаться, шнырять». Тогда Шыгаль — человек непоседливый, резкий в движениях, или, в переносном смысле, тот, кто «мечется» в делах. Вторая версия связывает прозвище с тюркским корнем «шигай» — так в некоторых тюркских языках называли заросли кустарника, камыша. В этом случае прозвище могло достаться человеку, жившему у таких зарослей, или, что реже, выходцу из тюркской среды. Вторая версия менее вероятна для центральной России, но полностью исключать её нельзя — фамилия могла возникнуть на пограничных территориях.

Суффикс -ёв указывает на принадлежность: «чей?» — Шыгалёв, то есть сын или потомок Шыгаля. Это типичная модель для русских фамилий, образованных от прозвищ без дополнительных суффиксов. Фамилия недворянская, не семинарская — она из крестьянской или мещанской среды, где прозвища передавались по наследству в устной форме, а при переписях записывались на слух. Именно поэтому буква «ы» и сохранилась: писарь записал так, как услышал от носителя говора.

Интересно, что в современных справочниках фамилию часто путают с более распространённой Шигалёв (через «и»). Но написание через «ы» — не ошибка, а маркер живой народной речи, которая в XIX веке ещё не была унифицирована орфографией. Если ваши предки носили именно Шыгалёвых, они почти наверняка происходят из региона, где «оканье» или «яканье» сочеталось с твёрдым произношением шипящих — например, из южного Подмосковья или чернозёмной полосы.