Фамилия Синих — один из ярких примеров так называемых «качественных» фамилий, которые застыли в форме родительного или предложного падежа множественного числа. Её суффикс -их (а точнее, окончание -их в роли фамильного показателя) указывает на севернорусское или сибирское происхождение. Такие фамилии типичны для Архангельской, Вологодской, Вятской губерний и для земель, куда переселялись выходцы оттуда. В отличие от «великорусских» фамилий на -ов/-ев и -ин, которые отвечали на вопрос «чей?», фамилии на -их/-ых отвечали на вопрос «чьи?» и обозначали принадлежность целому роду или дому: Синих — из семьи Синих.

Основа фамилии — прилагательное «синий». Прозвище Синий в древности давали не за цвет глаз или одежды, а за особенности внешности: синюшный оттенок кожи от болезни, мороза или ушиба, а также за склонность к синякам. В говорах «синий» могло означать «смуглый» или «с синеватым отливом волос». Встречается и другая версия: Синими называли людей, живших у реки Синяя или в урочище с таким названием. Однако в фамилии, скорее всего, закрепилось именно прозвище по внешнему признаку, а не топоним: топонимические фамилии на -их обычно образуются от названий селений, а не от рек.

Интересно, что фамилия Синих — сравнительно редкая. В массовых списках русских фамилий (например, в подсчётах Б. Унбегауна по Петербургу начала XX века) она не фигурирует, что говорит о её локальном бытовании. Встречается она и в украинизированной форме Синіх, но это уже результат поздней записи.

Сословная принадлежность предков Синих, скорее всего, крестьянская или мещанская. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, что логично: в высших сословиях предпочитали фамилии на -ов/-ев или -ский. Сама форма -их долгое время считалась «простонародной» и даже неофициальной: в документах её могли переделывать на Синины, чтобы звучало «благороднее». Поэтому, если в вашем роду есть вариант Синин, это не ошибка, а результат канцелярской унификации фамилий в XIX веке.

В современном русском языке фамилия не склоняется (мужская и женская формы совпадают), что создаёт путаницу: в быту её нередко склоняют («у Синих», «с Синими»), но по паспорту она остаётся неизменной. Это ещё один маркер её архаичной модели, которая сохранилась в неизменном виде с допетровских времён.