Фамилия Сиринько — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы понять, откуда она взялась, нужно смотреть на её окончание. Суффикс -ко характерен для украинских, реже белорусских, фамилий, образованных от прозвищ или имён. В данном случае основа «Сирин» — это либо сокращённая форма личного имени (например, Серафим, где «Сирим» могло перейти в «Сирин»), либо прозвище, данное по внешности или поведению.

Самая вероятная версия — связь с украинским диалектным словом «сиринький», то есть «серенький», «неприметный». Прозвище Сиря, Сиринь могли дать человеку со светлыми, серыми волосами или глазами, либо же тому, кто носил одежду неброского, серого цвета. В этом случае Сиринько — это «сын или потомок Сириня», то есть человека, которого за серость или скромность так прозвали.

Менее распространённая, но возможная гипотеза — связь с птицей сирин (из древнерусских легенд, райская птица). Однако фамилии от названий птиц обычно образуются через суффиксы -ов/-ев (Соколов, Воробьёв), а форма на -ко встречается реже. Вряд ли предок был сказочным существом, скорее прозвище могло быть ироническим — так могли назвать певчего или говорливого человека.

Географически фамилия тяготеет к западноукраинским землям, возможно, к Волыни или Подолью. В России она почти не встречается. Сословного барьера у неё не было: такие фамилии на -ко в XIX веке носили и крестьяне, и казаки, и мещане. Если ваши предки — Сиринько, скорее всего, они были выходцами из украинских сёл, где прозвище закрепилось как родовое имя.