Фамилия Скробинская — женская форма фамилии Скробинский, и её разбор стоит начать не с корня, а с географии. В русской ономастике фамилии на -ский (-ская) традиционно связывают с дворянскими родами, но это лишь одна из возможностей. На деле такой суффикс мог получить любой человек, переселившийся из села или местечка с названием вроде Скробино, Скробово или Скробин. В Польше, Беларуси и на западе России топонимов с основой «скроб» встречается несколько — например, деревня Скробы в Подляском воеводстве или урочище Скробово в Смоленской области. Поэтому первая и самая вероятная версия: предок носительницы фамилии владел землей или просто жил в таком месте, а фамилию ему дали по названию населённого пункта.

Корень «скроб» — тёмный, и тут начинается самое интересное. В славянских языках есть глагол «скробать» (царапать, скрести), а в диалектах — «скробот» (шум, возня) или «скробы» (мелкие щепки, стружка). В белорусском языке «скроб» означает «скрип» или «царапанье». Отсюда прямая дорога к прозвищу Скроба — так могли назвать человека суетливого, шумного, или того, кто работал с деревом, постоянно скребя и строгая. Прозвище Скроба — основа для фамилии Скробин (с суффиксом принадлежности -ин), а от неё уже образовалась форма Скробинский — как вариант «из рода Скробиных» или «живущий в имении Скробиных». Это типичная модель для польско-белорусского пограничья, где фамилии на -ский часто возникали как вторичные, от более простых фамилий.

Есть и третья, более редкая версия, которую приводят некоторые исследователи: связь с литовским корнем skrab- (скрести, царапать). В Великом княжестве Литовском, куда входили многие земли современной Беларуси, балтские и славянские элементы смешивались. Если предок был из литвинов, его прозвище могло звучать как Скробис, а потом обрусело до Скробин. Но эта гипотеза уступает славянской по вероятности — топонимы со «скроб» встречаются в основном в славянских говорах.

С точки зрения словообразования, суффикс -ск- указывает на принадлежность или территориальную привязку, а окончание -ая — на женский род. В дореволюционной России фамилия Скробинская могла принадлежать как польской шляхте (особенно в Гродненской и Виленской губерниях), так и крестьянам, которых записывали по месту жительства после отмены крепостного права. Сословие по фамилии не угадать — тут нужны конкретные метрические книги.

Сравнение с однокоренными фамилиями даёт дополнительную картину. Скробов, Скробовский, Скробот — все они от одного корня, но разошлись по разным регионам. Скробинская — самая «польско-белорусская» по звучанию, с характерным для тех мест окончанием. Если ваш предок был Скробинским, скорее всего, его семья происходила из западных губерний Российской империи или из восточных воеводств Речи Посполитой. Точнее можно сказать только после работы с архивными картами — ищите деревни с корнем «скроб» на картах XIX века.