Фамилия Слобожанская — типичная «географическая» фамилия, образованная от названия местности. В её основе лежит слово «слобода» — так в Древней Руси называли крупные поселения свободных, то есть не крепостных, людей (от «свобода»). Слободы часто возникали рядом с городами или на землях, освобождённых от налогов на время, чтобы привлечь переселенцев. Фамилия Слобожанский (а женская форма — Слобожанская) указывает на родом из Слобожанщины — исторической области на северо-востоке Украины и юго-западе России, охватывающей Харьковщину, часть Сумской, Полтавской, Воронежской и Белгородской земель. Именно там с XVII века формировались слободские казацкие полки, а само слово «слобожане» закрепилось за жителями этого края.

Суффикс -ск- в фамилии — типично «топонимический», указывающий на принадлежность к месту. Такая модель (город/регион + -ский/-ская) была особенно распространена в среде дворянства и духовенства, но в случае с Слобожанскими она скорее говорит о крестьянском или казачьем происхождении предков: фамилию могли дать переселенцу, который пришёл из Слобожанщины в другую местность. В XIX веке такие фамилии нередко закреплялись за бывшими государственными крестьянами, которым при переписи давали прозвание по месту выхода.

Стоит различать Слобожанскую и фамилию Слободская. Последняя образована от слова «слобода» напрямую и может относиться к любому поселению с таким названием — их сотни по всей России. Слобожанская же жёстко привязана именно к Слобожанщине как региону. Встречаются также варианты Слобоженко, Слобожанин — они образованы от того же корня, но с разными суффиксами: -енко (украинский патроним) и -анин (указание на жителя).

Сословная принадлежность носителей фамилии была разной. В метрических книгах XIX века Слобожанские встречаются и среди мещан, и среди крестьян, реже — среди купцов и духовенства. В основном фамилия распространена в Харьковской, Курской и Воронежской губерниях, что подтверждает её региональное происхождение. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были выходцами из слободских казачьих или крестьянских семей, живших на территории современной Украины и юга России.