Фамилия Слывин — редкий случай, где на первый план выходит не очевидное слово, а сложный вопрос: от какого именно корня её образовали? На слух она почти совпадает с названием гриба «слива» (в старой орфографии «слыва»), но ономасты обычно смотрят глубже.

Самая вероятная версия — прозвище Слыва от глагола «слыть» (быть известным, считаться кем-то). В древнерусском языке «слыва» означало «молва, слух» или «тот, о ком говорят». Человек, получивший такое прозвище, мог быть знаменит в своей округе — доброй или дурной славой. В говорах слово «слыва» фиксировалось и в значении «общее мнение, репутация». Суффикс -ин указывает на принадлежность: Слывин — буквально «сын Слывы», как Иванов — сын Ивана.

Менее вероятная, но возможная гипотеза — связь с диалектным «слыва» в значении «слива». В некоторых южнорусских и украинских говорах «слыва» — это и есть слива. Тогда прозвище мог получить садовод, торговец сливами или человек, живший у сливового сада. Однако в пользу этой версии говорит то, что фамилия Слывин встречается в основном в регионах, где говорят на «икающем» аканье (например, в Рязанской, Тамбовской областях), где «слыва» и «слива» звучали почти одинаково.

Фамилия редкая. В дореволюционных источниках она не фиксируется как дворянская или купеческая — скорее всего, это крестьянская или мещанская фамилия, возникшая в XVIII–XIX веках. В современной России Слывины чаще всего живут в центральных и южных областях, что подтверждает связь с южнорусскими говорами.

Таким образом, Слывин — это «сын человека, о котором шла молва» или, чуть реже, «сын сливовода». Обе версии имеют право на жизнь, но первая (от «слыть») выглядит более естественной для русской антропонимии: прозвища по репутации давали часто, а по фруктам — реже.