Фамилия Солуйко — один из тех случаев, когда разбор упирается в редкость модели. Она образована по западноукраинской или белорусской модели с суффиксом -к-о, который в этих регионах присоединяли к прозвищам, именам и названиям профессий (сравните: Коваль — Ковалько, Гриць — Грицько). Основа здесь — «Солуй» или «Солуй» (в зависимости от диалектного произношения). Что это за основа — главный вопрос.

Правдоподобнее всего связь с глаголом «солуй» или «солувати» — в украинских и белорусских говорах так могли называть того, кто солит, засаливает что-то (рыбу, мясо, сало). То есть предок мог быть солеваром, торговцем солью или просто человеком, который занимался засолкой продуктов — ремеслом, без которого в старом крестьянском быту не обходились. Менее вероятна, но не исключена версия от личного имени Соломон (в народных формах Солуй, Солоха) — тогда фамилия означает «потомок Солуя».

Географически фамилия тяготеет к западу Украины — больше всего записей в Ивано-Франковской, Львовской и Тернопольской областях, реже встречается в южной Беларуси. В центральной России она практически не фиксируется, что подтверждает её западнорусское происхождение. Сословно носителями были, скорее всего, крестьяне или мещане: такие фамилии на -ко обычно не получали дворяне, а оформлялись они в XVII–XIX веках, когда крепостным и казакам давали прозвища по занятию или внешнему признаку.

Стоит добавить, что форма Солуйко — не единственная. Встречаются варианты Солуй, Солуев, Солуенко, но они менее характерны. Если ваша фамилия именно с окончанием -ко, это почти наверняка указывает на родство с человеком, которого в своей общине знали как «Солуя» — либо по ремеслу солевара, либо по имени.