Фамилия Сосикусай с большой вероятностью не славянская, а тюркская или кавказская по происхождению. В русском языке она выглядит как экзотическая и редкая, её основа не раскладывается на привычные древнерусские корни. Скорее всего, это русифицированная запись фамилии, которая в оригинале звучала иначе.

Первый и самый правдоподобный вариант: фамилия восходит к тюркскому мужскому имени Сосык (или Сосыккул, Сосыкбай). В тюркских языках «сосык» означает «вонючий, дурно пахнущий». Это так называемое охранительное имя — его давали ребёнку, чтобы обмануть злых духов и отвести от него болезни и сглаз. Считалось, что зло не позарится на «плохое» имя. Окончание «-ай» может быть частью имени (как в именах Кусай, Толганай) либо аффиксом принадлежности. Таким образом, Сосикусай — это сложносоставное имя, где вторая часть («кусай») могла означать «птица» или «сокол» в некоторых тюркских диалектах.

Вторая версия, менее вероятная, но допустимая: фамилия может быть искажением фамилии Сосикосаев или Сосикусаев — от прозвища, связанного с ремеслом или местностью. Например, у народов Северного Кавказа (кумыков, ногайцев) встречаются фамилии с похожим звучанием и корнем «сос» (вода, болото, сырость). Тогда «Сосикусай» могло означать «тот, кто живёт у сырого оврага» или «водяной птицелов».

В пользу тюркского происхождения говорит и суффикс «-ай», типичный для тюркских имён и прозвищ. В русской традиции такие фамилии обычно получали окончание «-ов» или «-ев», но если носитель попал в метрики уже с готовой формой на «-ай», её могли записать без изменений. Поэтому Сосикусай — это, скорее всего, не русифицированная, а напрямую записанная фамилия, сохранившая исходное звучание.

Географически фамилия могла возникнуть в регионах с тюркским или кавказским населением — в Дагестане, Чечне, Астраханской области, Татарстане или Башкортостане. Встретить её в центральной России маловероятно. Носителей этой фамилии крайне мало, и в открытых источниках сведений об известных людях с такой фамилией нет. Это редкая, локальная фамилия, которая почти не покинула места своего возникновения.