Фамилия Стыгарь, скорее всего, представляет собой фонетический вариант фамилии Стигарь, которая образована от аналогичного прозвища. Это прозвище ведет свое начало от корня глагола «стигать» (в современном языке он употребляется только с приставками до-, по- и др.). Родственные слова есть во многих славянских языках: в болгарском - «стига» - «довольно», в польском - scignac, scigac - «гнать», в сербохорватском - «стигнути» - «догонять, достигать, прибывать, поспевать». То же происхождение имеет и украинское прилагательное «стиглий» - «зрелый, спелый». Соответственно, можно предположить, что прозвище Стигарь дали расторопному человеку или тому, кто рано повзрослел. По другой версии, основой для прозвища Стыгарь послужил глагол «стыгнуть», который в «Толковом словаре живого великорусского языка» В. Даля означает «остывать, простывать, терять теплоту, жар, становиться холоднее, холодеть». Возможно, что такое прозвище получил теплолюбивый человек.