Фамилия Стыгарь почти наверняка — фонетический вариант более привычной Стигарь. В русских говорах, где цокали и якали, безударное «и» легко переходило в «ы», поэтому обе формы бытовали параллельно, и закрепиться могла любая из них.

Корень у прозвища общий — древний глагол «стигать». В современном языке он сохранился только в приставках: достать, постигнуть, настигнуть. Но родственники этого слова живут во всех славянских языках. В болгарском «стига» значит «довольно, хватит», в польском scignac и scigac — «гнать, догонять», в сербохорватском «стигнути» — «догонять, достигать, прибывать, поспевать». Украинское прилагательное «стиглий» — «зрелый, спелый» — тоже из этого гнезда.

Отсюда первая и самая правдоподобная версия: Стигарем (а затем и Стыгарем) называли расторопного, шустрого человека, который всё успевает, или того, кто рано повзрослел и «поспел» раньше других. Прозвища от глаголов движения и скорости — частый источник русских фамилий, они метко характеризовали человека в глазах соседей.

Есть и вторая версия, более редкая. В «Толковом словаре живого великорусского языка» Владимира Даля есть глагол «стыгнуть» — «остывать, простывать, терять теплоту, жар, становиться холоднее, холодеть». Если исходить из него, то прозвище Стыгарь мог получить зябкий, теплолюбивый человек. Но эта гипотеза слабее: глагол «стыгнуть» почти не дал прозвищ и фамилий, тогда как «стигать» — основа целого пласта родственных слов в разных славянских языках. К тому же форма Стыгарь с «ы» в корне легко объясняется простонародным произношением, а не отдельным словом.

Суффикс -арь указывает на деятеля: он характерен для прозвищ, образованных от глаголов (как Писа́рь, Врата́рь, Ткач). То есть Стыгарь — не сын некоего Стыги, а сам человек, наделённый качеством: «тот, кто стигает», то есть догоняет или поспевает. Такая словообразовательная модель типична для южнорусских и украинских говоров, где подобные прозвища были особенно живучи.

Фамилия редкая, в старых родословных росписях и боярских списках она не встречается. Это фамилия крестьянская или мещанская, возникшая, скорее всего, в XVIII–XIX веках, когда за безземельными и дворовыми людьми окончательно закреплялись наследственные прозвания. Географически корни стоит искать в зоне влияния украинского и белорусского языков — на юго-западе России, где переход «и» в «ы» и суффикс -арь были обычным делом.

Известных носителей фамилии, оставивших след в науке или культуре, назвать трудно — Стыгари не попали в энциклопедические словари. Зато сама фамилия — хороший пример того, как простое прозвище, данное за скорость или расторопность, пережило века и дошло до наших дней в почти неизменном виде.