Фамилия Сывый — одна из тех, где загадка кроется прямо на поверхности, в прилагательном. Большинство носителей этой фамилии, скорее всего, получили её от прозвища предка, которого в округе называли Сывый. В русских говорах это слово имело два основных, но разных значения, и понять, какое из них сработало, можно только по региону.

Первое и самое прямое значение — «серый», «пепельный», «сивый». Так могли прозвать человека за цвет волос (ранняя седина) или за невзрачный, блеклый цвет лица и одежды. Второе, менее очевидное, но тоже живое, особенно на юге России и Украине: «сытый», «упитанный», «жирный». В некоторых диалектах «сывый» — это просто «сытый», то есть прозвище могло достаться зажиточному, плотно питающемуся человеку или, наоборот, с иронией — тому, кто любил хорошо поесть.

Словообразовательная модель здесь простейшая: основа прилагательного «сыв-» плюс типичный фамильный суффикс -ый, который в русских фамилиях встречается реже, чем -ов/-ев, но встречается (сравните: Толстый, Босый, Косой). Фамилия Сывый — это чисто русская адъективная фамилия, то есть застывшая в форме прилагательного в мужском роде. Такие фамилии обычно не склоняются по падежам как прилагательные (у Сывого, к Сывому), хотя в быту их иногда ошибочно склоняют как существительные.

Интересно, что фамилия Сывый почти не имеет однокоренных «конкурентов» с тем же корнем. Вы не найдете массу Сывовых или Сывкиных — это редкая, нечастотная фамилия. Она не попала в массовый массив дворянских или купеческих родов, а бытовала в крестьянской и мещанской среде, чаще в центральных и южных губерниях России, а также у казаков. Встречается она и у белорусов (Сывы), где значение «сытый» более устойчиво.

Известных исторических носителей с такой фамилией нет, что только подтверждает её народное, «прозвищное» происхождение. Если ваш предок носил фамилию Сывый, он с высокой вероятностью был крестьянином или казаком, а его прозвище либо указывало на внешность (седина, серость), либо — если верить южнорусским говорам — на достаток и упитанность.