Фамилия Сивай — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет привычных русских суффиксов -ов или -ин, поэтому сразу ясно: перед нами нестандартная модель образования. Скорее всего, это застывшая форма повелительного наклонения глагола или прозвище, перешедшее в фамилию без изменений.

Самый прямой путь — от глагола «сивать», который в диалектах означал «сиять, блестеть, сверкать» (ср. украинское «сяйво» — сияние). Тогда Сивай — это повелительная форма: «Сияй!» Такое прозвище могли дать человеку с яркой внешностью, светлыми волосами или веселому, «лучезарному» нраву. В русских говорах встречается и слово «сивый» — седой, сизый, но в этом случае логичнее была бы фамилия Сивов или Сивак, а не Сивай.

Вторая версия — тюркская. В тюркских языках «сив» или «сув» означает «вода». Сивай могло быть прозвищем человека, жившего у реки, или именем по отцу (Сивай — «водный»). Это объяснило бы географию: фамилия встречается в Поволжье и на Южном Урале, где сильны тюркские влияния. Однако для русского уха форма на -ай (как Бодай, Пугай) тоже естественна — так образовывали прозвища от действий.

Третий вариант — от канонического имени Сила или Силуан через народную форму Сивай. В крестьянской среде церковные имена часто сокращали и переделывали до неузнаваемости: Сила → Сивка → Сивай. Но это менее вероятно, потому что промежуточных форм «Сива» в документах почти нет.

Фамилия недворянская — суффикс отсутствует, что типично для крестьянских и казачьих прозвищ, которые записывали со слов. В XIX веке Сивай могло остаться без изменений в семьях однодворцев южных губерний или уральских казаков. Сегодня носителей мало, фамилия рассеяна — от Смоленска до Омска, что подтверждает её диалектную, а не аристократическую природу.

Если коротко: Сивай — прозвище по яркой внешности или характеру, реже — тюркский след. В любом случае, это редкий пример, когда фамилия сохранила живую глагольную форму, не «причесанную» суффиксами под стандарт.