Фамилия Тарнопольськая — это украинский вариант фамилии Тарнопольская, и её происхождение почти всегда указывает на связь с местом. В основе лежит топоним Тарнополь — так до 1944 года назывался город Тернополь (до переименования в честь областного центра). Суффикс -ськ- (-ск-) в украинской традиции указывает на принадлежность к местности: Тарнопольський буквально значит «из Тарнополя» или «тарнопольский». Женская форма на -а/-я, соответственно, говорит о том, что носительница — дочь или жена человека, который имел такое прозвище или фамилию.

Главная особенность этой фамилии — её написание через «о» во втором слоге: Тарнополь, а не Тернополь. Это не ошибка, а историческая норма. Город на реке Серет впервые упоминается в летописях как Тарнополь (от польск. Tarnopol, где корень «tarn» — тёрн, колючий кустарник, и «pole» — поле). После вхождения в состав СССР в 1939 году название русифицировали, заменив «а» на «е» для благозвучия. Поэтому фамилия Тарнопольськая — живое свидетельство дореволюционного или межвоенного прошлого. Носители, скорее всего, происходят из семей, живших в Тернополе или его окрестностях до 1944 года, либо из тех, кто эмигрировал (например, в Польшу или Канаду) и сохранил старую форму.

Словообразовательная модель типична для украинских фамилий на -ський/-цький, которые в XIX веке активно давали крестьянам и мещанам при переписях по месту жительства. В отличие от русских фамилий на -ский (которые часто носили дворяне), украинские на -ський могли быть и у простых людей. Поэтому предки носительницы фамилии могли быть ремесленниками, торговцами или крестьянами, приписанными к городу. Есть и редкая версия, что фамилия могла возникнуть от прозвища «Тарнополь» — человека, который торговал тёрном (колючим кустарником) или жил на тёрновом поле, но это менее вероятно: географическая привязка к названию города гораздо сильнее.

Встречается фамилия в основном в западных областях Украины (Тернопольская, Львовская, Ивано-Франковская), а также в диаспоре в Польше и США. В русском языке её часто пишут как Тарнопольская (с одним «с» и окончанием -ая), но украинская форма с мягким знаком и окончанием -ая — норма для украинского правописания. Если вы ищете свои корни, стоит проверить метрические книги Тернопольского уезда до 1917 года — там фамилия могла фиксироваться именно как Тарнопольская.