Фамилия Татунчак — редкий случай, когда написание почти полностью сохраняет фонетику языка-источника. Её основа — тюркское или, с большой вероятностью, румынское (молдавское) слово, а суффикс -чак указывает на конкретную модель образования, нехарактерную для великорусских фамилий.

Разберём суффикс. -Чак (или -чук, -чак) — типичный уменьшительный или принадлежный аффикс в тюркских языках, а также в молдавском (как заимствование из турецкого). В восточнославянской традиции фамилии на -чак встречаются в основном на западе Украины, в Молдавии и на юге России, куда они попали через переселенцев. Если бы фамилия была русской по происхождению, она, скорее всего, звучала бы как Татунов или Татунин.

Что скрывается в корне «татун»? Есть две основные версии. Первая: от тюркского слова «тату» — «мир», «согласие», «спокойствие». В таком случае Татунчак могло означать «мирный человек» или «миротворец», а суффикс -чак придавал бы значение «маленький, смирный». Вторая версия, более бытовая: от молдавского (румынского) «tătuț» — ласковое обращение к отцу, «папочка», «тятя». Суффикс -ак превращает это в прозвище: Татунчак — буквально «сынок папочки», «маменькин сынок» или просто «баловень». В молдавских сёлах такое прозвище могли дать позднему или единственному ребёнку, которого все баловали.

Третья, менее вероятная, но допустимая версия — от глагола «татуировать», но в таком случае фамилия появилась бы не раньше XVIII-XIX веков и осталась бы в среде мастеровых. Однако для прозвища «Татун» это слишком книжно и поздне.

Географически фамилия тяготеет к зоне контакта славянского и тюрко-романского миров: Молдавия, Одесская область, Крым. Встречается и у гагаузов, и у украинцев, и у русских потомков переселенцев с Балкан.

Социальный контекст: фамилии на -чак, -ук, -чук в массе своей крестьянские, мещанские. Дворянских родов с таким окончанием практически нет. Татунчак, скорее всего, — прозвище, закрепившееся за одним человеком или родом в XVII-XIX веках, когда фиксировали фамилии в южных губерниях Российской империи.

Итог: перед нами не русская фамилия в классическом понимании, а восточно-романская или тюркская по корню, обрусевшая через суффикс. Значение — либо «мирный», либо «любимчик, баловень». Второе кажется более живым и естественным для прозвища.