Фамилия Таварникая — редкий случай в русской ономастике. Её основа и суффикс указывают на грузинское происхождение, хотя записана она по русской модели прилагательного. В грузинском языке существует фамилия Таварникидзе, где «Таварник» — это прозвище или профессиональное имя, а окончание -идзе означает «сын». В русской передаче грузинские фамилии часто адаптировали под местные окончания: -ов, -ев, -ин или, как здесь, -ий/-ая. Окончание -ая — это типичное русское окончание женского рода прилагательного (по аналогии с «Кузнецкая» или «Соколовая»), но в данном случае оно закрепилось как неизменяемая форма фамилии. Таким образом, Таварникая — это, скорее всего, русифицированный вариант грузинской фамилии, где исходное -идзе заменили на -ая по созвучию.

Корень «Таварник» восходит к грузинскому слову «тавари» (თავარი), что означает «топор» или «секира». Суффикс -ник в грузинском языке указывает на профессию или принадлежность к орудию труда. Значит, Таварник — это «тот, кто работает топором»: лесоруб, плотник или дровосек. Встречается и более узкое значение — «палач» (в историческом контексте, как человек, работающий секирой). Однако для крестьянской среды, откуда обычно происходят массовые фамилии, версия с лесорубом или плотником правдоподобнее. Палаческое ремесло было редким и не передавалось по наследству как фамилия.

Географически фамилия Таварникая привязана к регионам, где смешивались грузинское и русское население: это Кубано-Черноморская область, Ставрополье, а также территории бывшей Карсской области (ныне Турция), откуда в конце XIX — начале XX века переселялись грузины-мусульмане (аджарцы). В современной России фамилия встречается единично, в основном на юге страны. В Грузии её носители почти не фиксируются — там осталась форма Таварникидзе.

Отдельного внимания заслуживает написание. Фамилия склоняется по правилам прилагательных: Таварникая, Таварникой, Таварникую. Но в быту её часто воспринимают как несклоняемую из-за необычного звучания — это типичная ошибка, которая, впрочем, не меняет происхождения.