Фамилия Тайганский — редкая, и её разбор сразу упирается в географию. Основа «Тайган» почти наверняка отсылает к топониму: на карте есть несколько таких объектов, и самый известный — Тайган, река в Крыму, а также скала и урочище в том же регионе. Суффикс -ский — типичный для фамилий, образованных от названий мест: владельческий или территориальный признак. Предок носителя фамилии, скорее всего, происходил из местности с таким названием или владел землёй при реке Тайган.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с тюркским словом «тайган» (борзая собака, охотничья порода). В тюркских языках это слово широко распространено, и прозвище Тайган мог получить либо охотник, державший таких собак, либо человек с быстрым, поджарым телосложением. Однако модель на -ский для прозвищного происхождения нетипична: обычно такие фамилии закрепляются через суффиксы -ов/-ев. Поэтому топонимическая версия убедительнее.

В русской ономастике фамилии на -ский долгое время были маркером дворянского или духовного сословия — их давали по названиям имений или сёл. Тайганский мог возникнуть как фамилия польского или украинского шляхтича, переселившегося в Крым, или как искусственная фамилия семинариста, получившего её по месту службы. В метрических книгах XIX века такая фамилия встречается крайне редко, и массового распространения она не получила.

Интересная деталь: написание с двумя «й» (Тайганский, а не Таганский) указывает на то, что основа сохранила полный вокализм — это сближает фамилию с тюркским источником, а не с русским словом «таган» (тренога для костра). Если бы корень был славянским, форма, скорее всего, выглядела бы как Таганский. Так что в основе фамилии — либо крымская река, либо охотничий пёс, но первое правдоподобнее.