Фамилия Тебердиевы — один из тех случаев, когда географическая привязка оказывается важнее морфологического разбора. Основа фамилии напрямую указывает на топоним: река Теберда в Карачаево-Черкесии, левый приток Кубани. Человек, получивший фамилию Тебердиев, скорее всего, происходил с берегов этой реки или из одноимённого населённого пункта (аул Теберда, ныне город). Тюркская основа «тебер» в местных говорах может означать «дар божий» или «божий дар» — так поэтично осмысляли горные реки, дающие жизнь в засушливых ущельях.

Словообразовательная модель здесь нестандартная для русских фамилий. Суффикс -ев при тюркской основе — типичный для регионов Северного Кавказа, где фамилии русифицировали через добавление русского патронимического суффикса к местному имени или прозвищу. Форма Тебердиевы (с ударением на втором слоге) указывает на то, что исходное слово звучало как «Теберди» — так могли называть выходца с Теберды. Интересно, что в русской традиции фамилии на -диев редки: обычно тюркские основы дают -ов/-ев напрямую (Тебердов), но здесь сохранился местный компонент «ди», что говорит о поздней и неполной русификации.

По сословной принадлежности Тебердиевы, скорее всего, относились к горским народам — карачаевцам или балкарцам. В дореволюционных документах такие фамилии фиксировались у узденей (свободных общинников) или у горской аристократии, владевшей землями в долине Теберды. Однако письменных свидетельств о конкретных носителях до XX века сохранилось мало — метрики горских обществ часто велись нерегулярно.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что Тебердиевы — не единственный вариант записи. Встречаются Тебердовы (с усечением основы) и Тебердинские (с польско-украинским суффиксом -ский, что редко для Кавказа, но возможно при переселении). Если ваш предок писался как Тебердиев, это почти наверняка указывает на прямую связь с долиной Теберды, а не на прозвище от какого-то другого слова.