Фамилия Тенягина образована от мужской формы Тенягин по стандартной для русского языка модели: с помощью притяжательного суффикса -ин, который указывает на принадлежность («чей-то сын», «чей-то человек»). То есть Тенягин — это буквально «сын Теняги». Основа фамилии — прозвище или некалендарное имя Теняга.

Именования, образованные по той же модели, широко представлены в ономастике восточных, западных и южных славян. Славянские фамилии возникали от личного прозвища или от имени — христианского или языческого, — и Тенягин здесь не исключение. Разница лишь в том, что у южных и западных славян чаще использовались суффиксы -ич, -ский или -ук, тогда как на Руси прижился именно -ин, особенно в северных и центральных регионах.

Само слово «теняга» в старых говорах имело несколько значений, и все они связаны с бытом или характером человека. Наиболее вероятная версия — происхождение от глагола «тенять» или «тянуть», что в диалектах означало «медлить», «волочить», «задерживать». В таком случае Тенягой могли прозвать нерасторопного, вялого человека, который всё делает с ленцой. Вторая версия отсылает к рыболовной снасти — тенётам, сети, которую называли «теняга»; тогда прозвище мог получить рыбак или тот, кто плёл сети. Третья, менее убедительная гипотеза связывает основу с древним личным именем, но для неё нет надёжных письменных подтверждений.

Фамилия Тенягина встречается преимущественно в Поволжье и на Русском Севере — именно там суффикс -ин в фамилиях был самым распространённым. В документах XVIII–XIX веков такие фамилии фиксировались у крестьян и мещан, то есть предки носителей фамилии были, скорее всего, сельскими жителями или посадскими людьми, получившими прозвище по своей неспешности или по занятию рыболовством.

Ударение в фамилии плавающее: в разных семьях произносят и Теня́гина, и Те́нягина. Это нормально для фамилий, образованных от диалектных прозвищ, — письменная форма закрепилась, а устная традиция сохранила местные особенности.