Фамилия Тетюцкая — редкая и географически привязанная. Её основа, скорее всего, происходит от названия города Тетюши в Татарстане (на берегу Волги). Если это так, то перед нами типичная «географическая» фамилия, образованная по модели «название места + суффикс -цк-». Суффикс -цк- (в женском роде -цкая) указывает на принадлежность к местности: Тетюцкий — тот, кто родом из Тетюшей или владел землёй в тех краях. Такие фамилии обычно носили дворяне (по названию поместья) или, реже, выходцы из города, переселившиеся в другую губернию.

Однако есть нюанс. Если бы фамилия образовывалась от названия города напрямую, логичнее было бы ожидать форму «Тетюшский» или «Тетюшев». Форма «Тетюцкий» (с усечением «ш») могла возникнуть в устной речи, как упрощение, или же в основе лежит не город, а прозвище. В говорах «тетюха» или «тетюша» — неофициальное, часто шутливое название, связанное со словом «тётя» (женщина, родственница). Так могли прозвать человека, который жил у тётки, был воспитан ею или отличался мягким, «тётушкиным» характером. В таком случае суффикс -цк- играет роль не географического, а притяжательного указания: «принадлежащий Тетюхе» (жене или дочери человека по прозвищу Тетюх).

Словообразовательная модель с суффиксом -цк- в русских фамилиях — одна из самых «аристократичных» (сравните: Трубецкой, Вяземский, Оболенский), но в случае с Тетюцкой это не обязательно признак высокого происхождения. В XIX веке такие фамилии могли давать в духовных училищах и семинариях: ученикам нередко меняли фамилии на «благозвучные», образованные от названий городов или сёл. Так сын крестьянина из Тетюшей мог стать Тетюцким, просто поступив в училище.

Достоверно сказать, какая из версий верна для вашей конкретной ветви, можно только по архивным записям. Но если ваши предки были из Казанской или Симбирской губернии (где стоят Тетюши), географическая версия — самая прямая. Если же фамилия встречается в чернозёмных или северных областях, далеко от Волги, стоит присмотреться к прозвищному корню.